微分方程式メモ (2) - ひとなぐりこけし

予告した通り今回は解の一意性について書く。まだ1日も経っていないがしばらく数式を打ち込んでいられる余裕も無さそうだから早めに投稿した。あくまでもメモであって、人に見せることは考えずに書いているので注意。

逐次近似法により $y(x_0)=y_0$ を満足する $dy/dx=f(x,y)$ の解 $y(x)$ を得た。しかし、 $dy/dx=f(x,y)$ の解の一意性についてまだ確かめていない。同じ初期条件を満たす別の解がある可能性が残っているのだ。
前回のメモで設定した以下の2つの条件の下、一意性を証明する。
条件1:函数 $f(x,y)$ は実数値で、 $|x-x_0|≦a$ 、 $|y-y_0|≦b$ $(a,b＞0)$ で定義される $(x,y)$ 平面の領域 $D$ で連続である。
条件2: $f(x,y)$ は $D$ で $y$ に関してリプシッツ条件を満たす。つまり、正定数 $K$ が存在し $D$ の任意の点の組 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ に対し
$|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|≦K|y_1-y_2|$
が成り立つ。
[証明]
$z(x)$ を $z(x_0)=y_0$ 、 $z(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,z(t))dt$ を満たす $dy/dx=f(x,y)$ の解とする。
条件2より、
$|y(x)-z(x)|=\left|y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt-y_0-\int_{x_0}^{x}f(t,z(x))dt\right|$
$=\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt-\int_{x_0}^{x}f(t,z(x))dt\right|$ $=\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt-f(t,z(x))dt\right|$
$≦\left|\int_{x_0}^{x}K|y(t)-z(t)|dt\right|=K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|$
ここで $N=sup_{|x-x_0|≦h}|y(x)-z(x)|$ とおくと、 $|x-x_0|≦h$ で
$|y(x)-z(x)|≦KN|x-x_0|$
この不等式で $|y(x)-z(x)|≦K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|$ の右辺の $|y(t)-z(t)|$ を評価すると、
$|y(x)-z(x)|≦K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|≦K\left|\int_{x_0}^{x}KN|t-x_0| dt\right|$
$=K^{2}N\left|\int_{x_0}^{x}|t-x_0|dt\right|=K^{2}N\frac{{|x-x_0|}^{2}}{2}≦\frac{N(Kh)^{2}}{2}$
さて、 $|y(x)-z(x)|≦\frac{N(K|x-x_0|)^{n-1}}{(n-1)!}$ であるとすれば
$|y(x)-z(x)|≦K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|≦K\left|\int_{x_0}^{x}\frac{N(K|t-x_0|)^{n-1}}{(n-1)!}dt\right|$
$=K^{n}N\left|\int_{x_0}^{x}\frac{{|t-x_0|}^{n-1}}{(n-1)!}dt\right|≦K^{n}N\frac{{|x-x_0|}^{n}}{n!}$
$=\frac{N{(K|x-x_0|)}^{n}}{n!}≦\frac{N{(Kh)}^{n}}{n!}$
よって任意の $m$ に対し $|y(x)-z(x)|≦\frac{N{(Kh)}^{m}}{m!}$ が成立。
右辺は $x$ の選び方に依らないので $N≦\frac{N{(Kh)}^{m}}{m!}$ が言える。しかし $\frac{{(Kh)}^{m}}{m!}$ は $m$ を大きくしていくと $1$ より真に小さくなり、 $N=0$ でなければこの不等式は成り立たない。
$|y(x)-z(x)|≦N=0$ より $y(x)=z(x)$ であるから、解は一意的である。証明終。

逐次近似法の手順を説明するため、ひとつ例を見てみよう。
初期条件 $y(0)=1$ の下で、 $\frac{dy}{dx}=y(x)$ を解く。前回のメモと同じようにして函数列 ${(y_n(x))}_{n∈ \bf N}$ を定義する:
$y_0(x)=y_0=1$
$y_1(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y_0)dt=1+\int_{0}^{x}1dt=1+x$
$y_2(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y_1(t))dt=1+\int_{0}^{x}1+tdt=1+x+\frac{x^2}{2}$
$y_3(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y_2(t))dt=1+\int_{0}^{x}1+t+\frac{t^2}{2}dt=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$
…
以上から $y_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ と予想できる。 $n=1$ の時は成立している。
$y_{n-1}(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}$ と仮定すると、
$y_n(x)=1+\int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{t^k}{k!}dt=1+\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{x}\frac{t^k}{k!}dt$
$=1+\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{x}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}dt=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$
従って、先程の予想は正しい。
微分方程式 $dy/dx=y(x)$ の解 $\lim_{n \to \infty}y_n(x)=y(x)$ は、
$\lim_{n \to \infty}y_n(x)=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$
こうして $y(x)=exp(x):=e^x$ が導かれた。

次回は $n$ 次近似解 $y_n(x)$ の誤差評価について書く予定。