微分方程式メモ (1)

微分方程式についてのメモ。参考文献は Lectures on differential and integral equations (Kosaku Yoshida) である。TeXコマンドはよくわからないので見づらいのは許して欲しい。
さて、1階常微分方程式はふつう{ \displaystyle F(x,y,dy/dx)=0}の形で書かれる。以下、これが{ \displaystyle \frac{dy}{dx}}について解くことができ、{ \displaystyle \frac{dy}{dx} =f(x,y)} の形で書かれる場合について考える。{ \displaystyle \frac{dy}{dx} =f(x)}というのが最も単純な場合であるが、この解は{ \displaystyle f(x)} が連続な変域において
{ \displaystyle y(x) =\int_{x_0}^{x}f(t) dt + C}
で与えられる。積分定数{ \displaystyle C}は{ \displaystyle x=x_0}における{ \displaystyle y(x)}の値により定まる。すなわち{ \displaystyle y=y(x_0)=C}である。つまり、{ \displaystyle y(x_0)=y_0}を満たす{ \displaystyle \frac{dy}{dx} =f(x)}の解は
{ \displaystyle y(x) = y_0+\int_{x_0}^{x}f(t) dt}
で与えられる。条件{ \displaystyle y(x_0)=y_0}は初期条件と呼ばれる。
{ \displaystyle y(x_0)=y_0}を満たす微分方程式{ \displaystyle \frac{dy}{dx} =f(x,y)}の一般解を見つけたいのであるが、この問題を形式化するため、{ \displaystyle f(x,y)}に関して2つの条件を設定する。
条件1:函数{ \displaystyle f(x,y)}は実数値で、{ \displaystyle |x-x_0|≦a}、{ \displaystyle |y-y_0|≦b} { \displaystyle (a,b＞0)}で定義される{ \displaystyle (x,y)}平面の領域{ \displaystyle D}で連続である。
条件2:{ \displaystyle f(x,y)}は{ \displaystyle D}で{ \displaystyle y}に関してリプシッツ条件を満たす。つまり、正定数{ \displaystyle K}が存在し{ \displaystyle D}の任意の点の組{ \displaystyle (x_1,y_1)}、{ \displaystyle (x_2,y_2)}に対し
{ \displaystyle |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|≦K|y_1-y_2|}
が成り立つ。
ここで、{ \displaystyle f(x,y)}が{ \displaystyle D}において連続な偏導関数{ \displaystyle \frac{∂f(x,y)}{∂y}}を持つ時、{ \displaystyle f(x,y)}が条件2を満たすことを見てみよう。
{ \displaystyle \left| \frac{∂f(x,y)}{∂y} \right|}は連続で、{ \displaystyle D}が有界閉集合であることより{ \displaystyle \left| \frac{∂f(x,y)}{∂y} \right|}は有界。よって、{ \displaystyle K= sup_{(x,y)∈D}\left| \frac{∂f(x,y)}{∂y} \right|}とおける。ここで、{ \displaystyle x}を固定し、{ \displaystyle f_{(x)}(y)=f(x,y)}とすると、{ \displaystyle \frac{df_{(x)}(y)}{dy}= \frac{∂f(x,y)}{∂y}}である。{ \displaystyle (x,y_1)、(x,y_2)∈D} に対し平均値の定理より、ある{ \displaystyle \theta∈(y_1,y_2)}が存在し、
{ \displaystyle \frac{f_{(x)}(y_1)-f_{(x)}(y_2)}{y_1-y_2}=\left( \frac{df_{(x)}}{dy} \right) (\theta)}
が成立。従って、
{ \displaystyle \frac{f(x,y_1)-f(x,y_2)}{y_1-y_2}= \frac{∂f}{∂y} (x,\theta)}
両辺に絶対値を付けて
{ \displaystyle \left| \frac{f(x,y_1)-f(x,y_2)}{y_1-y_2} \right| = \left| \frac{∂f}{∂y} (x,\theta) \right| }
{ \displaystyle K= sup_{(x,y)∈D}\left| \frac{∂f(x,y)}{∂y} \right|}より、
{ \displaystyle \left| \frac{f(x,y_1)-f(x,y_2)}{y_1-y_2} \right| ≦ K }
故に、{ \displaystyle |f(x,y_1)-f(x,y_2)| ≦ K|y_1-y_2|}が導かれる。{ \displaystyle x}は任意であるから、{ \displaystyle f(x,y)}はリプシッツ条件を満たす。これで条件2の重要性がわかったかと思われる。
条件1より、{ \displaystyle |f(x,y)|}は有界閉領域{ \displaystyle D}上で連続であるから、{ \displaystyle |f(x,y)|}は{ \displaystyle D}上有界である。よって、{ \displaystyle M= sup_{(x,y)∈D} |f(x,y)|}とおける。{ \displaystyle h=min\{a,\frac{b}{M}}\}とすると、区間{ \displaystyle |x-x_0|≦h}上で函数列{ \displaystyle {(y_{n}(x))}_{n∈\bf N}}を以下のように定義することができる:
{ \displaystyle y_0(x)=y_0}
{ \displaystyle y_1(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y_0(t)) dt}
{ \displaystyle y_2(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y_1(t)) dt}
…
{ \displaystyle y_n(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y_{n-1}(t)) dt}

定理:{ \displaystyle {(y_n(x))}_{n∈\bf N}}は区間{ \displaystyle |x-x_0|≦h}において一様収束し、その極限{ \displaystyle y(x)}は初期条件{ \displaystyle y(x_0)=y_0}を満たす{ \displaystyle dy/dx=f(x,y)}の解である。
[証明]
{ \displaystyle M= sup_{(x,y)∈D} |f(x,y)|＜ \infty}と{ \displaystyle h=min\{a,b/M\}}より、{ \displaystyle |x-x_0|≦h}で、{ \displaystyle k=1,2,…,n}に対し
{ \displaystyle |y_k(x)-y_0|=\left| \int_{x_0}^{x}f(t,y_{k-1}(t)) dt \right|≦|x-x_0|sup_{(x,y)∈D}|f(x,y)|≦hM}
また、{ \displaystyle h}の定義より{ \displaystyle hM≦b}がわかる。
従って、{ \displaystyle k=1,2,…,n}に対し{ \displaystyle |y_k(x)-y_0|≦hM≦b}が成立。
ここで、リプシッツ条件を用いる。
{ \displaystyle |f(t,y_k(t))-f(t,y_{k-1}(t))| ≦ K|y_k(t)-y_{k-1}(t)|}
左辺の絶対値は外せる。
{ \displaystyle f(t,y_k(t))-f(t,y_{k-1}(t)) ≦ K|y_k(t)-y_{k-1}(t)|}
両辺{ \displaystyle t}について積分すると、
{ \displaystyle \int_{x_0}^{x}f(t,y_k(t))-f(t,y_{k-1}(t)) dt ≦ \int_{x_0}^{x}K|y_k(t)-y_{k-1}(t)| dt}
{ \displaystyle \int_{x_0}^{x}f(t,y_k(t)) dt - \int_{x_0}^{x}f(t,y_{k-1}(t)) dt ≦ K \int_{x_0}^{x}|y_k(t)-y_{k-1}(t)| dt}
{ \displaystyle \int_{x_0}^{x}f(t,y_k(t)) dt + y_0 - y_0 - \int_{x_0}^{x}f(t,y_{k-1}(t)) dt ≦ K \int_{x_0}^{x}|y_k(t)-y_{k-1}(t)| dt}
{ \displaystyle y_{k+1}(x)-y_{k}(x) ≦ K \int_{x_0}^{x}|y_k(t)-y_{k-1}(t)| dt}
両辺絶対値を付けて、
{ \displaystyle |y_{k+1}(x)-y_{k}(x)| ≦ K \left| \int_{x_0}^{x}|y_k(t)-y_{k-1}(t)| dt \right|}
この不等式を認めれば、{ \displaystyle k=1,2,…,n}で
{ \displaystyle |y_{k}(x)-y_{k-1}(x)| ≦ \frac{b{(K|x-x_0|)}^{k-1}}{(k-1)!}}
が導かれる。{ \displaystyle k=1}の時は明らかであるから、{ \displaystyle k=n}で上の不等式が成り立つと仮定すると、{ \displaystyle k=n+1}でも
{ \displaystyle |y_{n+1}(x)-y_{n}(x)| ≦ \frac{b{(K|x-x_0|)}^{n}}{n!}}
が成り立つ。よって数学的帰納法より任意の{ \displaystyle k}についてこれが成り立つ。細かい証明はダルいので演習問題とする。
この時、{ \displaystyle m＞n}で
{ \displaystyle |y_m(x)-y_n(x)| ≦ \sum_{k=n}^{m-1}|y_{k+1}(x)-y_k(x)|}
{ \displaystyle ≦\sum_{k=n}^{m-1} \frac{b{(K|x-x_0|)}^{k}}{k!}≦\sum_{k=n}^{m-1} \frac{b{(Kh)}^{k}}{k!}}
が得られる。
{ \displaystyle |y_m(x)-y_n(x)| ≦\sum_{k=n}^{m-1} \frac{b{(Kh)}^{k}}{k!}}の右辺を{ \displaystyle n→\infty}とすると、{ \displaystyle {(y_n(x))}_{n∈\bf N}}は区間{ \displaystyle |x-x_0|≦h}で函数{ \displaystyle y(x)}に一様収束することがわかる。一様収束することから、{ \displaystyle y(x)}は連続かつ初期条件{ \displaystyle y(x_0)=y_0}を満たす。
{ \displaystyle y(x)}が{ \displaystyle dy/dx=f(x,y)}の解であることを示すために、この命題を用いる。
命題:函数列{ \displaystyle {(y_n(x))}_{n∈\bf N}}が一様収束し、{ \displaystyle y_n(x)}が区間{ \displaystyle |x-x_0|≦h}で連続ならば、以下が成立。
{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{x_0}^{x}y_n(t) dt = \int_{x_0}^{x} \lim_{n \to \infty}y_n(t) dt}
これもダルいので証明しない。
これを認めれば、{ \displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n(x)=y(x)}は{ \displaystyle y_0+ \int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt}に一致する:
{ \displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n(x)=y_0+\lim_{n \to \infty}\int_{x_0}^{x}f(t,y_n(t))dt}
{ \displaystyle =y_0+\int_{x_0}^{x}\lim_{n \to \infty}f(t,y_n(t))dt=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt}
被積分函数{ \displaystyle f(t,y(t))}は連続なので、{ \displaystyle y(x)}は微分可能である。
よって、導函数{ \displaystyle dy/dx}は
{ \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}y_0+\frac{d}{dx}\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt=f(x,y(x))}
となり、{ \displaystyle y(x)}が{ \displaystyle dy/dx=f(x,y)}の解であることがわかる。証明終。

これ以上やるとページがクソ重くなりそうなので一旦終了。次回は解の一意性について書く。