微分方程式メモ (3)

今回は{\displaystyle n}次近似解の誤差評価について。
微分方程式メモ(1)で得た不等式
{\displaystyle |y_m(x)-y_n(x)|≦b\sum_{k=n}^{m-1}\frac{{(Kh)}^k}{k!}}
で{\displaystyle m \to \infty}として、区間{\displaystyle |x-x_0|≦h}で
{\displaystyle |y(x)-y_n(x)|≦b\sum_{k=n}^{\infty}\frac{{(Kh)}^k}{k!}}
を得る。この不等式は{\displaystyle n}次近似解{\displaystyle y_n(x)}の誤差評価となっている。しかしこの評価法では何度も積分の評価を繰り返す必要があり、いつも実用的な方法であるとは限らない。
別のやり方を考えてみよう。{\displaystyle f(x,y)}の近似{\displaystyle g(x,y)}を初期条件{\displaystyle z(x_0)=y_0}を満たす区間{\displaystyle |x-x_0|≦h}上で微分方程式{\displaystyle \frac{dz}{dx}=g(x,y)}の解{\displaystyle z(x)}を見つけることができるようなものであるとする。正数{\displaystyle ε}は{\displaystyle sup_{(x,y)∈D}|f(x,y)-g(x,y)|≦ε}を満たすとする。そして{\displaystyle y(x)}を初期条件{\displaystyle y(x_0)=y_0}を満たす{\displaystyle |x-x_0|≦h}における{\displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x,y)}のuniqueな解とする。この時、
{\displaystyle |y(x)-z(x)|=\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt-\int_{x_0}^{x}g(t,z(t))dt\right|=\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))-g(t,z(t))dt\right|}
リプシッツ条件より以下の不等式が導かれる。
{\displaystyle |y(x)-z(x)|=\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))-g(t,z(t))dt\right|}
{\displaystyle =\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))-f(t,z(t))+f(t,z(t))-g(t,z(t))dt\right|}
{\displaystyle =\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))-f(t,z(t))dt+\int_{x_0}^{x}f(t,z(t))-g(t,z(t))dt\right|}
{\displaystyle =\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))-f(t,z(t))dt+\int_{x_0}^{x}f(t,z(t))-g(t,z(t))dt\right|}
{\displaystyle ≦\left|\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))-f(t,z(t))dt\right|+\left|\int_{x_0}^{x}f(t,z(t))-g(t,z(t))dt\right|}
{\displaystyle ≦\left|\int_{x_0}^{x}|f(t,y(t))-f(t,z(t))|dt\right|+\left|\int_{x_0}^{x}|f(t,z(t))-g(t,z(t))|dt\right|}
{\displaystyle ≦|ε|x-x_0||+\left|\int_{x_0}^{x}K|y(t)-z(t)|dt\right|}
{\displaystyle =ε|x-x_0|+K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|}
ゆえに、{\displaystyle L=sup_{|x-x_0|≦h}|y(x)-z(x)|}とおくと、
{\displaystyle |y(x)-z(x)|≦ε|x-x_0|+K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|}
{\displaystyle ≦ε|x-x_0|+KL|x-x_0|}
上の不等式{\displaystyle |y(x)-z(x)|≦ε|x-x_0|+K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|}の右辺の{\displaystyle |y(t)-z(t)|}をこの不等式で評価すると、
{\displaystyle |y(x)-z(x)|≦ε|x-x_0|+K\left|\int_{x_0}^{x}|y(t)-z(t)|dt\right|}
{\displaystyle ≦ε|x-x_0|+K\left|\int_{x_0}^{x}ε|t-x_0|+KL|t-x_0|dt\right|}
{\displaystyle ≦ε|x-x_0|+K\left|\frac{ε{|x-x_0|}^2}{2}+\frac{KL{|x-x_0|}^2}{2}\right|}
{\displaystyle ≦ε|x-x_0|+\frac{Kε{|x-x_0|}^2}{2}+\frac{K^2L{|x-x_0|}^2}{2}}
ここから紆余曲折あって{\displaystyle |x-x_0|≦h}上で任意の{\displaystyle n∈\mathbb{N}\setminus\{0\}}に対し
{\displaystyle |y(x)-z(x)|≦\frac{L{(K|x-x_0|)}^n}{n!}+ε\sum_{m=1}^{n}\frac{K^{m-1}{|x-x_0|}^m}{m!}}
であることが言える。
この不等式の右辺を{\displaystyle n\to\infty}とすれば、第1項は{\displaystyle 0}に一様収束し、第2項は{\displaystyle ε\frac{e^{K|x-x_0|}-1}{K}}より小さくなる。
実際、
{\displaystyle ε\sum_{m=1}^{n}\frac{K^{m-1}{|x-x_0|}^m}{m!}=\frac{ε}{K}\sum_{m=1}^{n}\frac{{(K|x-x_0|)}^m}{m!}}
{\displaystyle =\frac{ε}{K}\left(\sum_{m=0}^{n}\frac{{(K|x-x_0|)}^m}{m!}-1\right)}
{\displaystyle =\frac{ε}{K}\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{{(K|x-x_0|)}^m}{m!}-1-\sum_{l=n+1}^{\infty}\frac{{(K|x-x_0|)}^l}{l!}\right)}
{\displaystyle =\frac{ε}{K}\left(e^{K|x-x_0|}-1-\sum_{l=n+1}^{\infty}\frac{{(K|x-x_0|)}^l}{l!}\right)}
{\displaystyle ≦ε\frac{e^{K|x-x_0|}-1}{K}}
よって、{\displaystyle |x-x_0|≦h}での近似解{\displaystyle z(x)}の誤差評価は以下の不等式で与えられる。
{\displaystyle |y(x)-z(x)|≦ε\frac{e^{K|x-x_0|}-1}{K}}

次回は積分定数について書く予定だが数式を打ち込むのに疲れてきたので飛ばすかもしれない。