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ひとなぐりこけし

完全な球体と屋根の上に降り積もる女の子のやわらかい死体

微分方程式メモ (4)

今回のテーマは積分定数だったが理解があまりにも不足しているので冪級数展開による解について書く。

 {\displaystyle f(x,y)}が複素変数 {\displaystyle x} {\displaystyle y}についての複素数函数である場合の微分方程式 {\displaystyle \frac{ dy}{dx}=f(x,y)}について考えよう。 {\displaystyle f(x,y)}は以下の条件に従うとする。
条件1':函数 {\displaystyle f(x,y)} {\displaystyle |x-x_0|<a'} {\displaystyle |y-y_0|<b'}で与えられる複素平面の領域 {\displaystyle D'}において {\displaystyle (x-x_0)} {\displaystyle (y-y_0)}で収束冪級数に展開できる。つまり、 {\displaystyle f(x,y)} {\displaystyle D'}で正則である。
この条件から、 {\displaystyle D'}内で {\displaystyle \frac{ ∂f(x,y)}{∂y }}もまた正則であることがわかる。複素閉領域 {\displaystyle D} {\displaystyle |x-x_0|≦a} {\displaystyle |y-y_0|≦b}  {\displaystyle (0<a<a',0<b<b')}で定めると、 {\displaystyle \frac{ ∂f(x,y)}{∂y }} {\displaystyle D}で連続であるから、 {\displaystyle \left|\frac{ ∂f(x,y)}{∂y }\right|} {\displaystyle D}で連続である。同様に {\displaystyle |f(x,y)|} {\displaystyle D}で連続。有界閉集合上で連続なので、正数 {\displaystyle M} {\displaystyle K}が存在して
 {\displaystyle sup_{(x,y)∈D}|f(x,y)|=M<\infty}
 {\displaystyle sup_{(x,y)∈D}\left|\frac{ ∂f(x,y)}{∂y }\right|=K<\infty}
を満たす。
 {\displaystyle \frac{ ∂f(x,y)}{∂y }} {\displaystyle y_1} {\displaystyle y_2}を繋ぐ線分に沿って積分することで以下の等式を得る。
 {\displaystyle f(x,y_1)-f(x,y_2)=\int_{ y_1}^{ y_2}\frac{ ∂f(x,y)}{∂y }dy}
両辺に絶対値を付けて、
 {\displaystyle |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=\left|\int_{ y_1}^{ y_2}\frac{ ∂f(x,y)}{∂y }dy\right|}
 {\displaystyle ≦\int_{ y_1}^{ y_2}\left|\frac{ ∂f(x,y)}{∂y }\right| |dy|≦{\int_{ y_1}^{ y_2}K|dy|}=K|y_2-y_1|}
従って、 {\displaystyle f} {\displaystyle D}上でリプシッツ条件を満たす。
 {\displaystyle |f(x,y_1)-f(x,y_2)|≦K|y_1-y_2|}
ゆえに、実数値函数の時と同じように、 {\displaystyle h=min\{a,\frac{ b}{M }\}}とすると条件1'のもと {\displaystyle |x-x_0|≦h}微分方程式 {\displaystyle dy/dx=f(x,y)}逐次近似法を適用することが出来る。
 {\displaystyle |x-x_0|≦h} {\displaystyle x_0} {\displaystyle x}を繋ぐ滑らかな曲線に沿って複素積分する時、以下のように書ける。
 {\displaystyle y_1(x)=y_0+\int_{ x_0}^{x }f(t,y(t))dt}
 {\displaystyle y_2(x)=y_0+\int_{ x_0}^{x }f(t,y_1(t))dt}

 {\displaystyle y_n(x)=y_0+\int_{ x_0}^{x }f(t,y_{n-1}(t))dt}
 {\displaystyle f(x,y_0)} {\displaystyle |x-x_0|<h}で正則だから、最初の積分はwell-definedであり、曲線に依らず、それゆえ、{\displaystyle y_1(x)}もまたそうである。
最初の積分を取ると {\displaystyle y_1(x)-y_0=\int_{ x_0}^{x }f(t,y_0)dt}だから、両辺に絶対値を付けて
 {\displaystyle |y_1(x)-y_0|=\left|\int_{ x_0}^{x }f(t,y_0)dt\right|≦\int_{ x_0}^{x }|f(t,y_0)||dt|}
 {\displaystyle ≦\int_{x_0}^{x}M|dt|≦M|x-x_0|<hM≦\frac{ b}{ M}M=b}
よって {\displaystyle f(x,y_1(x))} {\displaystyle |x-x_0|<h≦a} {\displaystyle x}函数としてwell-definedである。
{\displaystyle y_1(x)}が正則函数{\displaystyle f(x,y_0)}積分により与えられることから、{\displaystyle y_1(x)}{\displaystyle |x-x_0|<h}で正則である。従って、2つ目の積分{\displaystyle \int_{x_0}^{x}f(t,y_1(t))dt}はwell-definedであり、{\displaystyle y_2(x)}{\displaystyle |x-x_0|<h}においてwell-definedかつ正則である。{\displaystyle x_0}{\displaystyle x}を繋ぐ線分に沿って積分すると、
{\displaystyle |y_2(x)-y_0|≦ \left| \int_{x_0}^{x} f(t,y_1(t))dt \right|≦ \int_{x_0}^{x}|f(t,y_1(t))||dt|}
{\displaystyle ≦\int_{x_0}^{x}M|dt|≦M|x-x_0|<hM≦b}
このようにして{\displaystyle |x-x_0|<h}{\displaystyle y_3(x)}{\displaystyle y_4(x)}{\displaystyle y_5(x)}、… を次々と定義することができる。
実際、上の事実から簡単にわかるように{\displaystyle y_k(x)}{\displaystyle |x-x_0|<h}でwell-definedかつ正則と仮定すると{\displaystyle |y_{k+1}(x)-y_0|<b}となり{\displaystyle y_{k+1}(x)}{\displaystyle |x-x_0|<h}でwell-definedである。よって、函数{\displaystyle y_n(x)} {\displaystyle (n∈\mathbb{N}\setminus \{0\})}{\displaystyle |x-x_0|<h}で正則かつ{\displaystyle |y_n(x)-y_0|<b}
{\displaystyle x_0}{\displaystyle x}を繋ぐ線分に沿った積分を取ることと、微分方程式メモ (1)と同様の計算により、正則函数{\displaystyle {(y_n(x))}_{n∈\mathbb{N}}}{\displaystyle |x-x_0|<h}での一様収束性と、{\displaystyle y(x_0)=y_0}{\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x,y)}を満たす極限函数{\displaystyle y(x)}が示せる。更に、正則函数列の一様極限{\displaystyle y(x)}もまた正則である。
解の一意性は実数値函数の時と同様に証明される。